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Concave与Convex函数的区分

本文于 2020-02-01 06:35 更新,请以最新修订版为准。

最简单的辨识方法

最简单也是最直观的辨识方法是,如果曲线的凹凸部位位于两点连接的直线(即下图中的紫色线)下方,则为convex函数(如下图所示)。

如果曲线的凹凸部位位于两点连接的直线(下图中的紫色线)的上方,则为concave函数(如下图所示)。 口诀总结为 “上cave下vex (上C下V)”。

Convex函数

上面是convex与strictly convex函数的定义,下图为convex函数的图像示意:(为了便于理解,可以把下图中的t设置为50%,则 tf(x1) + (1- t)f(x2) = 紫线在与f(x)曲线的两个交点之间紫线的中点位置。tx1+ (1-t)x2 = 横轴上x1与x2之间线段的中点位置。因此很明显,f ( tx1+ (1-t)x2 )< tf(x1) + (1- t)f(x2) 。符合上面的convex函数的定义,因此该图像对应着的是convex函数的图像。

Concave函数

上面是concave与strictly concave函数的定义,下图为concave函数的图像示意:(为了便于理解,可以把下图中的t设置为50%,则 tf(x1) + (1- t)f(x2) = 紫线在与f(x)曲线的两个交点A、B之间的中点位置。tx1+ (1-t)x2 = 横轴上x1与x2之间线段的中点位置。因此很明显,f ( tx1+ (1-t)x2 )> tf(x1) + (1- t)f(x2) 。符合上面的concave函数的定义,因此该图像对应着的是concave函数的图像。

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